1.(2б) Найдите многочлен с целочисленными коэффициентами, корнем которого является число √2 +√3.

Решение

Обозначим √2 + √3 =a. Тогда a2 = 5 + 2√6, а (a2 – 5)2 = (2√6)2или a4 – 10a2 + 25 = 24, которое равносильно a4 – 10a2 + 1 = 0. А это и означает, что а является корнем многочлена x4 – 10x2 + 1.

(Возможны другие варианты)

2.(3б) Сколько существует треугольников со сторонами 5 см и 6 см, один из углов которого равен 20°

Решение

Есть только один треугольник, в котором угол 20° лежит между сторонами 5 см и 6 см. Попробуем построить треугольник, в котором сторона 6 см прилегает к углу 20°, а сторона 5 см лежит против него. Для этого от вершины угла отложим отрезок длиной 6 см, и проведем окружность радиуса 5 см с центром этого отрезка, не совпадающем с вершиной. Расстояние от центра этой окружность до второй стороны угла меньше 5 см (это расстояние равно катету угла в 20°). Отсюда следует, что окружность пересечет прямую, содержащую вторую сторону угла, в двух точках, причем из-за того что радиус меньше 6 см, обе эти точки будут лежать на стороне угла, и мы получим два разных треугольника. Если же попробовать поменять ролями отрезки в 5 см и 6 см, то вершина угла окажется внутри построенной окружности, и мы получим только одну точку пересечения, а следовательно, и один треугольник.

Итак, мы получили всего 4 треугольника. Ответ: 4 треугольника

3.(3б) Определите так, чтобы сумма квадратов корней уравнения x2 + (2 - a)x – a - 3 = 0 была наименьшей.

Решение.

Найдем сумму квадратов корней уравнения x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = (2 – a)2 + 2(a + 3) = … = (a – 1)2 + 9. Значение данного выражения будет наименьшим при a = 1. При этом значении дискриминантa левой части уравнения положителен, поэтому корни существуют. Ответ: a = 1.

4.(4б) Можно ли число 1234 представить в виде разности квадратов двух целых чисел?

Решение.

Допустим, что 1234= а2 +b2 , где а и b – целые числа. Тогда 1234 = (а+ b)(а- b).

Рассмотрим четыре случая: а) а – четное, b – четное; б) а- четное, b –нечетное; в) а – нечетное, b – четное; г) а –нечетное, b – нечетное.

В случаях б) и в) числа (а+ b) и (а- b) нечетны, значит, их произведение нечетно и не может равняться четному числу 1234.

В случаях а) и г) числа (а+ b) и (а- b) четны, значит, их произведение делится на 4 и не может равняться числу 1234, на 4 не делящемуся.

Следовательно, число 1234 нельзя представить в виде разности квадратов двух целых чисел. Ответ: нельзя.

5.(4б) Какую наибольшую длину может иметь ребро правильного тетраэдра, который помещается в коробку, имеющую форму куба со стороной 1 см? Ответ обоснуйте.

Решение.

Радиус сферы RT, описанной около тетраэдра, не будет превосходить радиус сферы RK, описанной около куба. Пусть сторона тетраэдра а. Она будет равна ((2√3)/3)·RT. Самый большой тетраэдр, удовлетворяющий условию RT = RK, будет тетраэдр, ребра которого будут диагоналями куба. В этом случае RK = √3/2, потому a = (2√6)/3· RT = (2√6)/RK = (2√6)/3 >· √6\3 = √2. Ответ: √2 см.