Докажите, что для любых чисел a, b, c, принадлежащих отрезку [0, 1], выполните неравенство

(a + b + c + 1)2 4(a2 + b2 + c2).

Решить систему уравнений

В окружность с центром О вписан четырехугольник со взаимно перпендикулярными диагоналями. Докажите, что расстояние от точки О до каждой его стороны равно половине длины противоположной стороны.
Назовем натуральное число, записанное в десятичной системе счисления, современным, если оно в 1999 раз больше суммы своих цифр. Найти все современные числа.
В парламенте у каждого его члена не более пяти врагов. Докажите, что парламент можно разбить на две палаты так, что у каждого парламентария в одной с ним палате будет не более двух врагов. Считая, что если А – враг В, то В – враг А.