1.(2б) Объясните, почему 2,6·(26n -1) – целое число при любом натуральном n.

Решение.

Число 26n всегда оканчивается на 6, а поэтому 26n -1 оканчивается на 5;

Заметим, что при умножении 2,6, на целое число, оканчивающееся на 5, получается целое число.

2.(3б) Решите уравнение x4 + 2006x2 – 2007 = 0.

Ответ: 1, -1

3.(4б) Постройте график функции y = |x - 1| - |2 - x| + 2.

Ответ: http://e-ypok.ru/files/image/olimp/mathematiks/olimp_mathematics_010.jpg

4.(6б) С помощью циркуля и линейки разделите пополам угол, вершина которого недоступна.

Решение. Найдите разность длин сторон квадратов

Задача имеет множество решений. Рассмотрим один из них. Выберем на сторонах угла произвольно по 2 точки: A, N, B, M и рассмотрим треугольники АВС и NМС. Проведем в каждом из этих треугольников биссектрисы углов. Точка пересечения биссектрис углов треугольника АВС принадлежит и биссектрисе угла С. Аналогично, точка пересечения 2 биссектрис углов треугольника NМС также лежит на биссектрисе угла С. Проводим через эти 2 точки прямую, которая будет и биссектрисой ﮮС.

5.(4б) Докажите, что среди любых шести человек найдутся трое знакомых или трое незнакомых между собой людей.

Решение.

Пусть эти шестеро: A, B, C, D, E, M. А находится в одном из двух отношений «знаком» или «незнаком» хотя бы с тремя из них. Пусть это будут B, C, D. Если какие-то два из них находятся в том же отношении друг с другом, то они вместе с А образуют искомую тройку. В противном случае искомая тройка B, C, D.

Резерв В квадрат со стороной 1 метр бросили произвольным способом 51 точку. Докажите, что какие-то три из них можно накрыть квадратиком со стороной 0,2метра.

Решение.

Разобьем квадрат на 25 равных квадратиков со стороной 0,2 метра. Докажем, что в каком-то из них находятся по крайней мере 3 из данных точек. Применим принцип Дирихле: если бы в каждом квадратике (внутри или на сторонах) было не больше 2-х точек, то всего их было бы не больше 50 (2*25 = 50).

А у нас всего 51 точка, следовательно, в каком-то квадратике находится по крайней мере три их данных точек.