1. Числитель дроби увеличили на 5, а знаменатель – на 2 (числитель и знаменатель – целые положительные числа). При этом значение дроби уменьшилось. Приведите пример, как такое могло произойти. Ответ. Например, 10/3.

Комментарий. Подойдет любая дробь, большая чем 5/2.

2. Дано трехзначное число ABB. Если перемножить его цифры, то получится двузначное число АС, а если перемножить цифры АС, то получится С. Найдите исходное число.

Ответ. 144.

Решение. Так как А*С=С, то А=1 или С=0.

Первый случай: А=1. Тогда А*В*В=В2=1С, но есть только один квадрат между 10 и 20 – это 16, т.е. С=6. Откуда В=4. Т.е. исходное число 144: А=1, В=4, С=6.

Второй случай: С=0. Тогда А*В*В=А0=10А. Т.к. А – первая цифра, то А.0, можем сократить на А. Получим В2=10 – нет решения. Таким образом, ответ единственный.

3. Три математика ехали в разных вагонах одного поезда. Когда поезд подъезжал к станции, математики насчитали на перроне 7, 12 и 15 скамеек. Когда поезд отъезжал, каждый из них насчитал еще несколько скамеек, причем один из них насчитал в три раза больше, чем другой. А сколько насчитал третий?

Ответ. 7 скамеек.

Решение. Очевидно, что тот, кто до остановки проехал большую часть перрона, насчитал большее число скамеечек. Пусть первый насчитал 15 скамеек, второй 12, третий 7. Так как первый насчитал на 3 скамейки больше, чем второй, то, когда поезд будет отъезжать, второй увидит эти 3 скамейки, т.е. насчитает на 3 скамейки больше, чем первый. Аналогично третий насчитает на 8 скамеек больше, чем первый, и на 5 скамеек больше, чем второй. Раз кто-то насчитал в 3 раза больше, чем другой, то разница между насчитанными ими скамейками – четное

число (3x-x=2x). В нашем случае разность насчитанных скамеек четна только между первым и третьим и она равна 8. Значит, первый насчитал 8:2=4 скамейки, тогда второй 4+3=7 скамеек.

Замечание. Можно было обойтись и без четности. Пусть первый насчитал x скамеек. Тогда второй x+3, а третий x+8. А дальше составить всевозможные пары и решить получившиеся три уравнения (один насчитал в три раза больше, чем другой в паре): 3x=x+3, 3x=x+8, 3(x+5)=x+8. Только одно из них имеет целое решение.

4. В треугольнике АВС (см. рисунок) CD – биссектриса угла ACB, АВ=ВС, BD=BK, BL=CL. Докажите, что BF – биссектриса угла CBE.

Решение. Обозначим (треугольник BDK – равнобедренный)

5. Имеется 6 гирь: по паре зеленых, красных и белых. В каждой паре одна гиря тяжелая, а другая – легкая, причем все легкие весят одинаково и все тяжелые весят одинаково. Можно ли определить 3 тяжелые гири за два взвешивания на чашечных весах?

Ответ. Да.

Решение. Обозначим зеленые гири З1 и З2, аналогично гири других цветов К1, К2, Б1, Б2. Первое взвешивание: (К1+Б1) =? (К2+З1) 1) (К1+Б1) = (К2+З1). Возможные варианты:

а) К1>К2 и Б1<З1; б) К1<К2 и Б1>З1. Вторым взвешиванием сравниваем Б1 и З1 и выясняем какая из них тяжелая, какая легкая и соответственно какая легкая, а какая тяжелая из К1 и К2.

2) (К1+Б1) < (К2+З1). В этом случае К1 должна быть легче К2, а Б1 и Б2 могут быть: а) равные и при этом обе легкие б) равные и при этом обе тяжелые, в) Б1 легкая, З1 – тяжелая. Вторым взвешиванием сравниваем Б1 и З2: Б1<З2 => Б1 – легкая, З1 – легкая;

Б1=З2 => Б1 и З1 разные, т.е. Б1 легкая, т.е. легкие Б1 и З2; Б1>З2 => Б2, З2 – легкие

3) (К1+Б1) > (К2+З1). Аналогично случаю 2)

6. У каждого трехзначного числа нашли произведение его цифр. Получилось 900 произведений от 1*0*0 до 9*9*9 . Чему равна их сумма?

Ответ. 453=91125.

Решение. Достаточно заметить, что если мы раскроем скобки в произведении (1+2+…+9)·(0+1+2+…+9)·(0+1+2+…+9), то получим как раз 900 перечисленных в условии слагаемых, а все три суммы, стоящие в скобках, равны 45.

Комментарии по проверке

Каждая задача оценивается из 7 баллов. Каждая оценка – целое

число от 0 до 7. При оценке решения нужно исходить из того, является ли приведенное решение

в целом верным (хотя, может, и с недостатками) – тогда решение оценивается не менее чем в 4 балла. Или оно неверное (хотя, может, и с существенными продвижениями) – в этом случае оценка должна быть не выше 3 баллов.

Задача 1. Правильный пример дроби – 7 баллов.

Задача 2. Правильный ответ – 1 балл.

Верно разобран случай А=1, случай С=0 потерян – 3 балла.

Случай А разобран верно, в обосновании невозможности случая С=0 есть те или иные погрешности 4-6 баллов.

Задача 3. Голый ответ – 2 балла. Решение перебором по возможным парам (кто насчитал в три раза больше, чем другой), но какая-то пара из трех потеряна – не более 3 баллов.

Задача 5. Приведены верные взвешивания, из которых делаются правильные выводы какие гирьки тяжелые/легкие – 7 баллов. Если хотя бы одно из взвешиваний неправильное (в итоге нельзя сделать однозначного вывода, какие гирьки какие) – 0 баллов. Приведена

только верная последовательность взвешиваний, но никаких выводов и пояснений, почему она работает, нет – 4 балла.

Задача 6. За ответ без обоснования – 3 балла. С другой стороны, не надо требовать более подробного обоснования, чем в приведенном решении. Вычислять 453 не требуется.