1. Рыбак плыл по реке на лодке, зацепил шляпой за мост, и она свалилась в воду. Через час рыбак спохватился, повернул обратно и подобрал шляпу на 4 км ниже моста. Какова скорость течения? Скорость лодки относительно воды оставалась неизменной по модулю.

Решение. Удобно рассматривать движение шляпы и лодки относительно воды, потому что относительно воды шляпа неподвижна, а скорость лодки, когда она плывет от шляпы и к шляпе, по модулю одна и та же – так, как это было бы в озере. Следовательно, после поворота рыбак плыл к шляпе тоже 1 ч, т. е. он подобрал шляпу через 2 ч после того, как уронил её. По условию за это время шляпа проплыла по течению 4 км, откуда следует, что скорость течения 2 км/ч.

2. Автомобиль первую четверть пути проехал с постоянной скоростью за половину всего времени движения. Следующую треть пути, двигаясь с постоянной скоростью, за четверть всего времени. Остаток пути был преодолен со скоростью υ3 = 100 км/час. Какова средняя скорость автомобиля на всем пути? Чему равны скорости на первом и втором участках?

Решение. По определению средняя скорость есть отношение всего пути ко всему времени движения: υср = S/t. Из условия следует, что длина третьего участка составляет 5/12 всего пути, а время - 1/4 часть всего времени. Поэтому υ3 = S3 /t3 = 5/3 · S/t = 5/3 · υср → υ ср = 3/5 · υ 3 → υ ср = 60 км/ч. Скорость на первом участке: υ1 = S1/t1 ; υ1 = S · 2 / 4 · t ; υ1 = 1/2 · υср ; υ1 = 30 км/ч. На втором: υ2 = S2/t2 ; υ2 = S · 4 / 3 · t ; υ2 = 4/3 · υср ; υ2 = 80 км/ч.

Ответ: средняя скорость на всем пути 60 км/ч; скорость на первом участке 30 км/ч; а на втором 80 км/ч.

3. Игрушечное ведерко в 5 раз меньше настоящего и имеет такую же форму. Сколько игрушечных ведерок надо, чтобы заполнить настоящее ведро?

Решение. Объем большого ведра А3, объем игрушечного ведерка А3/125. Число ведерок N = А3/ А3/125.

Ответ: 125

4.Определите длину L изоляционной ленты в целом мотке.

Примечание. От мотка можно отмотать кусок изоляционной ленты длиной не более 20 см.

Оборудование. Моток изоляционной ленты, штангенциркуль, лист миллиметровой бумаги.

Рекомендации для организаторов. Необходимо предоставить участникам описание штангенциркуля.

Решение.

Пусть L, d, h, V – длина, толщина, ширина и объём ленты. Пусть S – площадь основания мотка изоленты (рис. 1). Её можно определить либо «по клеточкам» на миллиметровой бумаге, либо из расчёта S = πR2внеш − πR2внутр, но последнее выражение даёт менее точный результат, поскольку моток может быть деформирован и иметь овальную форму. Толщину ленты d измерим методом рядов. Тогда длина ленты равна