1.(2б) Какими цифрами можно заполнить “кроссворд”

С О Н

О К О

Н О С,

Если по всем горизонталям и вертикалям стоят точные квадраты?

(учитывается количество указанных вариантов)

Решение.

Среди трехзначных чисел, являющихся точными квадратами, есть только три с одинаковыми цифрами единиц и сотен: 121, 484, 676, причем в качестве числа ОКО подходит лишь 676. В свою очередь, точных квадратов с цифрой 6 в середине всего два – это 169 и 961. Отсюда следует, что “кроссворд” можно заполнить двумя способами.

Ответ: 169 961

676 и 676

961 169.

1б, если угадан 1 вариант

2. (3б) Разделите фигуру рис.1 на две равные части так,
чтобы из них можно было составить квадрат: http://www.zaitseva-irina.ru/archiv/snap/snap3028.jpg

Решениеhttp://www.zaitseva-irina.ru/archiv/snap/snap3029.jpg

2б, если угадан 1 вариант.

3. (4б) Докажите, что из любых 12 натуральных чисел можно выбрать два, разность которых делится на 11.

Решение.

При делении на 11 получается один из 11 остатков: 0, 1, 2, …, 10. Нам же дано 12 чисел, и по принципу Дирихле остатки от деления на 11 у каких-то двух из них совпадают. Разность этих двух чисел делится на 11.

4.(4б) В спортивной секции девочки составляют 60% числа мальчиков. Сколько процентов числа всех участников секции составляют девочки?

Решение.

Пусть в спортивной секции было х мальчиков, тогда девочек – 0,6х. Они составляют (0,6x 100)/(x + 0,6x). Ответ: 37,5%.

5.(4б) Ваня, Петя, Саша и Коля носят фамилии, начинающиеся на буквы В, П, С и К. Известно, что

a) Ваня и С. – отличники;

б) Петя и В. – троечники;

в) В. ростом выше П.;

г) Коля ростом ниже П.;

д) Саша и Петя имеют одинаковый рост.

На какую букву начинается фамилия каждого мальчика? Ответ обоснуйте.

Ответ: Саша - В., Петя – К., Коля – С., Ваня – П.