Задача 1.

По беговой дорожке одновременно стартовали два спортсмена. Первый, имея большую скорость, добежал до конца дорожки, повернул обратно, встретил второго через 5 мин после начала бега и добежал до старта на 1 мин 20 с позже, чем второй до конца дорожки. Найдите скорость первого спортсмена и длину дорожки, если второй бежал со скоростью 150 м/мин?

Задача 2.

В треугольнике АВС отмечена точка О- середина стороны АВ и проведены высоты АМ и ВР. Требуется доказать, что треугольник ОМР – равнобедренный. При каком условии треугольник ОМР является равносторонним?

Задача 3.

Доказать, что если х и у – такие целые числа, что выражение х2 + 3ху + у2 делится на 25, то каждое из чисел х и у делится на 5.

Задача 4.

На плоскости отмечены две точки А и В, расстояние между которыми равно 3,14 м. В точке А сидит блоха. Она может совершать прыжки в любом направлении, причём длина каждого прыжка равна 1 м. Может ли блоха за несколько прыжков попасть из точки А в точку В?

Задача 5.

Существует ли такое число а, чтобы числа: и были целыми?

Решение задач и критерии оценки.

Задача 1.

По беговой дорожке одновременно стартовали два спортсмена. Первый, имея большую скорость, добежал до конца дорожки, повернул обратно, встретил второго через 5 мин после начала бега и добежал до старта на 1 мин 20 с позже, чем второй до конца дорожки. Найдите скорость первого спортсмена и длину дорожки, если второй бежал со скоростью 150 м/мин?

Решение:

До встречи второй бегун пробежал 750 м. Пусть х м- расстояние от финиша до точки встречи, а у м/мин - скорость 1-го бегуна. 5у = 750+ 2х. = х:150+4:3. Х= 2,5у – 375. У2- 70у-750х60=0. Откуда у=250 м/мин. Длина дистанции-1000м.

Ответ: 250 м/мин,1000 м.

Примечание. Необходима таблица квадратов.

Критерии оценки.

Приведено полное решение, возможно, в виде чертежа, получен верный ответ.


6 баллов.

Составлена система уравнений или графическая схема. Решение не доведено до конца или допущена вычислительная ошибка.


3 балла.

Записан ответ без обоснования и все другие случаи.


0 баллов.

Задача 2.

В треугольнике АВС отмечена середина О стороны АВ и проведены высоты АМ и ВР. Доказать, что треугольник ОМР – равнобедренный. При каком условии треугольник ОМР является равно сторонним?

Решение :

А) Построим на отрезке АВ как на диаметре окружность. Тогда она пройдёт через точки М и Р, т.к. они являются вершинами прямых углов ( ∠АМВ = ∠АРВ = 90°), которые опираются на диаметр и поэтому являются вписанными углами для построенной окружности. МО и РО – радиусы этой окружности, поэтому МО = РО.

Б) Угол АСВ измеряется полуразностью дуг АВ и МР. Если треугольник МРО – равносторонний, то ∠МОР = 60°; поэтому ∠АСВ = 0.5 (180° - 60°) = 60°.

Критерии оценки.

Приведено полное доказательство в части «А», получен верный обоснованный ответ в части «В».


6 баллов.

В части «А» построен чертёж, но нет ссылки на свойство вписанного угла и в части «В» есть запись формулы для вычисления угла АСВ. Или в части «А» приведено полное доказательство, а к части «В» участник не приступал.


3 балла.

Все другие случаи.


0 баллов.

Задача 3.

Доказать, что если х и у – такие целые числа, что выражение х2 + 3ху + у2 делится на 25, то каждое из чисел х и у делится на 5.

Решение :

Х2 + 3ху + у2 = (х – у)2 + 5ху. Так как всё выражение делится на 25, а 5ху делится на 5, то (х – у)2 делится на 5, а значит, и на 25, так как квадрат целого числа не может делиться на первую степень простого числа. Поэтому 5ху также делится на 25, откуда следует, что х и у делятся на 5, но х– у делится на 5, поэтому оба числа делятся на 5.

Критерии оценки.

Приведено полное доказательство.


6 баллов.

Исходное выражение представлено в виде суммы двух слагаемых, есть указание на свойство разложения квадрата целого числа на простые множители.


3 балла.

Все другие случаи.


0 баллов.

Задача 4.

На плоскости отмечены две точки А и В, расстояние между которыми равно 3.14 м. В точке А сидит блоха. Она может совершать прыжки в любом направлении, причём длина каждого прыжка равна 1 м. Может ли блоха за несколько прыжков из точки А в точку В?

Решение:

Существует много вариантов решения. Пусть OP-серединный перпендикуляр отрезка AB. АО= 1,57 м, поэтому, по свойству перпендикуляра и наклонной, на прямой ОР существуют точки, удалённые от А и В на любое целое расстояние, большее АО. Например, точка С, т.ч. АС = СВ = 2. Блоха прыгнет по маршруту А → С → В. Здесь АС=СВ = 2. Понадобится 4 прыжка.

Критерии оценки.

Приведено обоснованное решение, возможно, не совпадающее с предложенным, опирающееся на построение треугольника по трём сторонам, применение неравенства треугольника и т.п.


6 баллов.

Решение приведено в виде рисунка без пояснений.


3 балла.

Все другие случаи.


0 баллов.

Задача 5.

Существует ли такое число а, чтобы числа и были целыми?

Решение :

Пусть , ,где m и n-целые числа, тогда , ; . Поэтому - целое число. Это возможно только тогда, когда m=n, следовательно, и . Т.о. удовлетворяют условию задачи.

Критерии оценки.

Приведено полное доказательство, возможно, не совпадающее с предложенным


6 баллов.

Введены обозначения целых чисел, использовано свойство произведения целого и иррационального числа.


3 балла.

Все другие случаи.


0 баллов.