1.(2б) В двузначном числе в два раза больше единиц, чем десятков. Если к этому числу прибавить 36, то получится число, записанное теми же цифрами. Найдите это число.

Решение.

Выпишем все такие двузначные цифры: 12,24, 36, 48. Найдем сумму каждого из них с числом 36. 12+36=48, 24+36=60, 36+36=72, 48+36=84.

Очевидно, что условию задачи удовлетворяет только число 48. Ответ: 48.

2.(3б) На плоскости даны 6 точек, расположенных в виде прямоугольника так, как указано на рис. 1. Сколько существует треугольников, у которых одна вершина находится в точке А, а две другие – в каких-либо остальных точках? Сколько существует таких треугольников, у которых одна вершина находится в точке F? 1

Решение.3

Указание. Обозначив буквами все остальные точки (рис.2.), нетрудно указать все треугольники: ABF, ABE, ACD, ACF, ACE, ADF, AEF.

Во втором случае также 9 способов. Ответ: по 9 способов.

3.(4б) Если Коля купит 11 тетрадей, то у него останется 7 рублей, а на покупку 15 тетрадей ему не хватит 5 рублей. Сколько денег у Николая? Ответ обоснуйте.

Ответ: 40 рублей.

4.(4б) У мамы четыре дочери Поля, Валя, Катя и Маша. Девочки играли и разбили вазу. На вопрос: «Кто это сделал?» Поля, Валя и Катя ответили: «Не я», а Маша – «не знаю». Потом оказалось, что две из них сказали правду, а две неправду. Знает ли Маша, кто разбил вазу? Ответ объясните.

Решение.

Среди ответов Поли, Вали и Кати может быть только один ложный ответ, иначе при двух ложных ответах получается, что стекло разбили двое. Тогда вторым ложным ответом будет ответ Маши. Значит, Маша знала, кто разбил стекло.

5. (4б) Будет ли сумма чисел 1 + 2 + 3 + …..+ 2005 + 2006 + 2007 делиться на 2007? Ответ обоснуйте.

Решение

Представим данную сумму в виде следующих слагаемых: (1 + 2006) + (2 + 2005) + …..+ (1003 + 1004) + 2007. Так как каждое слагаемое делится на 2007, то и вся сумма будет делиться на 2007. Ответ: будет.