1.(2б) Найти все такие двузначные числа A, для каждого из которых два из следующих четырех утверждений верны, а два -- неверны:
а) A делится на 5,
б) A делится на 23,
в) A+7 есть точный квадрат,
г) A-10 есть точный квадрат.

Решение

Нужно перебрать все возможные варианты. Их всего 6: 1) а, б; 2) а, в; 3) а, г; 4) б, в; 5) б,г; 6) в,г. Верны только 3) и 6)

Ответ: 35 и 74.

1б, если выбраны числа, соответствующие, хотя бы трем признакам.

2.(3б) Дан параллелограмм OACB. Проведена прямая, отсекающая четверть стороны OA и треть стороны OB, считая от вершины O. Какую часть эта прямая отсекает от диагонали OC?

Решение.

Пусть OA = y, OC = x, OB = z. Проведем прямые, параллельные уже проведенной: через точки B, A, а также прямую, параллельную данной и отсекающие такие же отрезки, как в условии, от противоположных сторон.

Используя теорему Фалеса, несложно доказать, что эти прямые (вместе с данной) разбивают диагональ на отрезки x, 2x, x, 2x, x (начиная от вершины O).

Отсюда x = OC / 7.Ответ: 1\7

3.(4б) (an) – арифметическая прогрессия с разностью 1. Известно, что S2009 - наименьшая среди всех Sn (меньше суммы первых n членов для любого другого значения n). Какие значения может принимать первый член прогрессии

Решение

Так как разность прогрессии положительна, то прогрессия – возрастающая. Следовательно, описанная ситуация возможна тогда и только тогда, когда члены прогрессии с первого по 2009-ый – отрицательны, а начиная с 2010-го – положительны. Таким образом, S2009 будет наименьшей, тогда и только тогда, когда а2009 <0, a2010 > 0. Отсюда получаем систему неравенств

Ответ: a1 (-2009; -2008).

4.(4б) Стрелок десять раз выстрелил по стандартной мишени и выбил 90 очков. Сколько попаданий было в семерку, восьмерку и девятку, если десяток было четыре, а других попаданий и промахов не было?

решение

Так как стрелок попадал лишь в семерку, восьмерку и девятку в остальные шесть выстрелов, то за три выстрела (по одному разу в семерку, восьмерку и девятку) он наберет 24 очка. Тогда за оставшиеся 3 выстрела надо набрать 26 очков. Что возможно при единственной комбинации 8+9+9=26. Итак, в семерку стрелок попал 1 раз, в восьмерку – 2 раза, в девятку – 3 раза.

5. (4б) Решить неравенствоРешите неравенство

Решение. Заметим, что все решения исходного неравенства существуют, если подкоренные выражения 2(x2 – 4x + 3) и – ( x2 – 4x + 3) неотрицательны. Одновременно эти неравенства выполняются лишь при условии x2 – 4x + 3 = 0. Это уравнение имеет два корня 1 и 3. Проверка показывает, что исходное неравенство имеет единственное решение 3.Ответ: 3

Резерв В трапеции длина одной из диагоналей равна сумме длин оснований, а угол между диагоналями равен 60°. Докажите, что трапеция – равнобедренная.Докажите, что трапеция – равнобедренная

Решение.

Пусть AD = a, BC = b, AC = a + b. Продолжим AD за точку D на расстояние DM = BC. Тогда очевидно, что ∆АСМ – равносторонний, т.к. две стороны равны a+b и угол ACM равен 60°. Но это значит, что ∆АОD и ∆ВОС - тоже равносторонние. Отсюда непосредственно следует, что ∆АОВ = ∆СОD, откуда имеем, что AB = CD.