1. (2б) Решите уравнение x - 6 = |x - 3|/(x - 3).

1б, если нет выборки корней. Ответ: 7.

2. (3б) Восстановить запись

(***)3=12******3.

Решение.

Эта задача решается путем последовательного сужения области поиска возможных вариантов трехзначного числа, возводящегося в куб. Сначала выясняется, что это число может оканчиваться только цифрой 7, так как из цифр от 0 до 9 только 7 при возведении в куб дает последнюю цифру 3, а затем, что среди сотен девятизначными могут быть только кубы чисел, не меньших 500, и лишь 5003 начинается с 12. Проверяя числа, близкие к 500, и оканчивающиеся на 7, получаем, что данная в условии запись есть 4973=122763473. Ответ; 497 и 122763473

3.(4б) В окружности с центром в точке О проведены радиусы ОВ и ОА так, что ﮮАОВ=60°, ОВ = DС. Найдите величину ﮮАDО.Найдите величину

Решение

Проведем СО, притом CO=DC=OA. Тогда треугольники ODC, AOC – равнобедренные. Если ﮮАDО=x, то ﮮАCО= ﮮCАО= 2x . Зная, что ﮮАОВ=60°является внешним углом для треугольника АDО составим уравнение x+2x=60°. Ответ: ﮮCDO = 20°.

4.(4б) Дворники получают грабли и метлы. Если каждый возьмет одну метлу или одни грабли, то останется 14 метел. А чтобы дать каждому дворнику и одну метлу, и одни грабли, не хватает 10 грабель. Сколько было дворников, сколько метел и сколько грабель?

Ответ: 24 дворника, 24 метлы и 14 грабель.

5. (4б) Найти натуральное число A, если из трех следующих утверждений два верны, а одно - неверно:
а) A+51 есть точный квадрат,
б) последняя цифра числа A есть единица,
в) A-38 есть точный квадрат.

Решение.

Как сказано в условии задачи, одно из этих утверждений является ложным. В первую очередь на себя обращает внимание условие б). Если последняя цифра равна 1, то условие а) не верно, так как нет точных квадратов оканчивающихся на 2, условие в) тоже не может быть верным, так как в этом случае последняя цифра равна 3 и таких точных квадратов нет. Следовательно, если условие б) верно, то условия а) и в) являются не верными, что не подходит по условию задачи (должно быть два верных и одно неверное утверждение из этих трех). Следовательно условие б) должно быть ложным, а а) и в) - истинными.
Теперь осталось разобраться с квадратами. В условиях а) и в) сказано, что A+51 и A-38 являются полными квадратами. Эти квадраты не обязательно могут быть соседними. Можно легко показать, что если два числа отличаются на число K, то разность их квадратов делится на это число K тоже. В нашем случае разность квадратов равна 89 и это число простое, следовательно эти числа могут отличаться только на 1 или 89. Последний вариант очевидно не подходит, а проверка первого варианта приводит к ответу A=1974.
Ответ: A=1974.