1. Замените буквы цифрами так, чтобы получилось верное равенство: О + Л + И + М + П + И + А = ДА (Одинаковые буквы надо заменять одинаковыми цифрами, разные – разными, ДА – двузначное число)

Ответ. Например, О=3, Л=4, И=0, М=5, П=8, Д=2, А=9.

Решение. Вычтем из обоих частей уравнения А, получим, что сумма цифр О+Л+И+М+П+И должна заканчиваться на ноль. Попробуем подобрать цифры так, чтобы например она была

равна 20 (т.е. Д=2). Это легко сделать, например 3+4+0+5+8+0 =20. т.е. О=3, Л=4, И=0, М=5, П=8, Д=2, А=9

Комментарий. Возможно много других решений. При этом Д может равняться 2, 3, 4.

2. На каждой перемене Робин-Бобин-Барабек съедает по конфете. За неделю (с понедельника по субботу) было 30 уроков. Сколько всего конфет съел Робин на переменах?

Ответ. 24 конфеты.

Решение. Если бы все эти уроки произошли в один день, то Робин съел бы 29 конфет (количество промежутков между 30 уроками). Но так как между последним уроком какого-то дня и первым

уроком следующего дня конфета не съедается, то нужно еще вычесть 5 конфет (по количеству промежутков между шестью днями), т.е. итого получается, что Робин съел 30 – 5=24 конфеты.

3. Из двух одинаковых железных проволок кузнец сковал по железной цепи. Первая содержит 80 звеньев, а вторая – 100. Каждое звено первой цепи на 5 граммов тяжелее каждого звена

второй цепи. Какова масса цепей?

Ответ. 2 кг.

Первое решение. Пусть x г – масса каждого звена второй цепи, тогда (x+5) г – масса каждого звена первой цепи. Тогда масса проволоки, с одной стороны, равна 100x, а с другой 80(x+5) г. Из

равенства 100x=80(x+5) следует, что x=20, а масса одной проволоки 100*20 г = 2 кг.

Второе решение. Т.к. массы цепей одинаковы, то, «забрав» у каждого звена первой цепи по 5 г, мы получим 80 кусочков по массе таких же, как звенья второй цепи, а из излишков должны

получиться оставшиеся 20 звеньев. Т.е. 20 звеньев весят 5*80=400 г, а одно звено второй цепи весит 400:20=20 г. Поэтому все 100 звеньев весят 100*20=2000 г, т.е. 2 кг.

4. Углы АОВ, ВОС и СОD равны между собой, а угол АОD втрое меньше каждого из них. Все лучи ОА, ОВ, ОС, ОD различны. Найдите величину угла AOD (перечислите все возможные варианты).

Ответ. 36, 45 градусов.

Решение. Углы АОВ, ВОС и СОD следуют друг за другом в одном направлении (т.к. никакие лучи не совпадают). При этом их сумма может быть меньше 360(см. рис 1) и больше 360 (см. рис. 2).

Обозначим величину угла АОD через x. Тогда каждый из углов АОВ, ВОС и СОD равен 3x. В первом случае получается, что 3x+3x+3x+x=360, откуда x=36. Во втором 3x+3x+3x-x=360, откуда x=45.

5. На некотором острове каждый житель либо всегда лжет, либо всегда говорит правду. Трое островитян А, Б, В сказали следующее: А: «Б – лжец»; Б: «ровно один из А и В лжец»;

В: «у меня есть крокодил». Есть ли у В крокодил?

Ответ. Да, есть.

Решение. Первый способ. 1) Пусть А говорит правду. Тогда Б – лжец. Тогда А и В оба лжецы или оба «правдивцы», но т.к. А – «правдивец», то и В «правдивец», т.е. крокодил у него есть.

2) Пусть А – лжец. Тогда Б – «правдивец». Тогда ровно один из А и В лжец, но т.к. А лжец, то В – «правдивец». Т.е. крокодил у него есть.

Таким образом, в обоих случаях получаем, что у В есть крокодил.

Второй способ. 1) Пусть Б «правдивец». Тогда ровно один из А и В лжец, но т.к. А говорит, что Б лжец, то А – лжец => В «правдивец» => крокодил у него есть.

2) Пусть Б лжец. Тогда оба А и В «правдивцы», или оба лжецы. Но А говорит, что Б лжец, т.е. говорят правду = > они оба (А и В) «правдивцы», т.е. у В есть крокодил.

6. Имеется 6 гирь: по паре зеленых, красных и белых. В каждой паре одна гиря тяжелая, а другая – легкая, причем все легкие весят одинаково и все тяжелые весят одинаково. Можно ли определить

3 тяжелые гири за два взвешивания на чашечных весах? (Чашечные весы показывают, равны ли веса грузов на чашках, а если не равны, то какая чашка тяжелее.)

Ответ. Да.

Решение. Обозначим зеленые гири З1 и З2, аналогично гири других цветов К1, К2, Б1, Б2. Первое взвешивание: (К1+Б1) =? (К2+З1) 1) (К1+Б1) = (К2+З1). Возможные варианты:

а) К1>К2 и Б1<З1; б) К1<К2 и Б1>З1. Вторым взвешиванием сравниваем Б1 и З1 и выясняем какая из них тяжелая, какая легкая и соответственно какая легкая, а какая тяжелая из К1 и К2.

2) (К1+Б1) < (К2+З1). В этом случае К1 должна быть легче К2, а Б1 и Б2 могут быть: а) равные и при этом обе легкие б) равные и при этом обе тяжелые, в) Б1 легкая, З1 – тяжелая. Вторым взвешиванием сравниваем Б1 и З2: Б1<З2 => Б1 – легкая, З1 – легкая; Б1=З2 => Б1 и З1 разные, т.е. Б1 легкая, т.е. легкие Б1 и З2; Б1>З2 => Б2, З2 – легкие. 3) (К1+Б1) > (К2+З1). Аналогично случаю 2)

Комментарии по проверке

Каждая задача оценивается из 7 баллов. Каждая оценка – целое число от 0 до 7. Ниже приведены некоторые указания к проверке. Естественно, всех случаев жюри предвидеть не может. При оценке решения нужно исходить из того, является ли приведенное решение в целом верным (хотя, может, и с недостатками) – тогда решение оценивается не менее чем в 4 балла. Или оно неверное (хотя, может, и с существенными продвижениями) – в этом случае оценка должна быть не выше 3 баллов.

Задача 1. Правильный пример – 7 баллов. Если есть идея подбирать сумму О+Л+И+М+П+И так, чтобы она заканчивалась на 0: 2 балла.

Задача 2. Только ответ – 1 балл. Ответ на примере – 2 балла. Далее в зависимости от полноты обоснований – от 3 до 7 баллов.

Задача 3. Только ответ – 1 балл. Верный ответ с проверкой (сказано, сколько должно весить каждое звено) – 3 балла. Верно составлено уравнение, которое затем решается подбором – не более 5 баллов.

Задача 4. За один из ответов 360 или 450, снабженный пояснениями (хотя бы в виде чертежей). – 3 балла. Только один из ответов без пояснений 1 балл. Оба ответа написаны, но нет никаких пояснений, – 3 балла.

Задача 5. Только ответ «Да» – 0 баллов. Разобран только один случай, например, что А – «правдивец»: 1 балл.

Задача 6. Приведены верные взвешивания, из которых делаются правильные выводы какие гирьки тяжелые/легкие – 7 баллов. Если хотя бы одно из взвешиваний неправильное (в итоге нельзя сделать однозначного вывода, какие гирьки какие) – 0 баллов. Приведена только верная последовательность взвешиваний, но никаких выводов и пояснений, почему она работает, нет – 4 балла.